题解 AT2134 【Zigzag MST】

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$Description$

对一张$n$个点的图做$Q$次加边操作,每次给定$A_i,B_i,C_i,$然后按顺序连边$(A_i,B_i,C_i),(B_i,A_i+1,C_i+1),(A_i+1,B_i+1,C_i+2)$等等，求给定图的最小生成树$.(A_i,B_i,C_i$等点编号均为对$n$取模的意义下$)$给定初始的$n,q,A_i,B_i,C_i;$

$(N,Q\leqslant 200000,0\leqslant A_i,B_i<N,1\leqslant C_i\leqslant 10^9)$

$Solution$

经过简单思考，我们发现，对于一次加边操作，最多加入$2\times n$条边，因为第$2\times n+1$条边为$((A_i+n)\%n,((B_i+n)\%n,d+2\times n)$即$(A_i,B_i,d+2\times n),$由于求最小生成树，往后的边加入就没有意义了。

所以总边数为$N\times Q$,然而这个复杂度依然无法接受

对于一次连边,假设连$(A_i,B_i,C_i),$那么第二条边就要连$(B_i,A_i+1,C_i+1),$由于此时$A_i$和$B_i$已经联通$(B_i,A_i+1,C_i+1)$其实等价于$(A_i,A_i+1,C_i+1)$

于是我们可以发现，每次连边操作就相当于连$(A_i,B_i,C_i)$

$((A_i+d-1)\%n+1,(A_i+d)\%n+1,C_i+2\times d+1)$

$((B_i+d-1)\%n+1,(B_i+d)\%n+1,C_i+2\times d+2)(0\leqslant d<n)$

虽然这并没有改变每次加边$O(n)$的复杂度

但是我们发现$(A_i+1,A_i+2)$的边权等于$(A_i,A_i+1)$的边权$+2$

于是我们设一个数组$g,$使得$g[i]$表示$(i,i\%n+1)$这条边的最小边权$($开始时设为$inf),$接着对于一次连边我们连上$(A_i,B_i,C_i),$再将

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g[u]=min(g[u],d+1);g[v]=min(g[v],d+2);

然后我们只需要再用$g[i]$更新$g[i\%n+1]$即可，由于更新的节点顺序呈环形，所以需要更新两遍

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g[i%n+1]=min(g[i%n+1],g[i]+2);

最后再连上$(i,i\%n+1,g[i])$就可以将将边数降低到$O(n)$级别，然后直接跑$Kruskal$即可

$Code$

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define re register
#define N 301200
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define mod 1000000007
using namespace std;
struct edge{
    int u,v,d;
}e[N<<1];
inline int read(){
    int x=0,w=0;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
    while (isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?-x:x;
}
int f[N],g[N],ans,n,Q,cnt;
inline bool cmp(edge a,edge b){
    return a.d<b.d;
}
int find(int k){return f[k]==k?k:f[k]=find(f[k]);}
void Kr(){
    sort(e+1,e+1+cnt,cmp);
    for (int i=1,t=0;i<=cnt;++i){
        int x=find(e[i].u),y=find(e[i].v);
        if (x==y)continue;
        f[x]=y;
        ++t;ans+=e[i].d;
        if (t==n-1)break;
    }
}
signed main(){
    n=read(),Q=read();
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    while (Q--){
        int u=read()+1,v=read()+1,d=read();
        e[++cnt]=(edge){u,v,d};
        g[u]=min(g[u],d+1);g[v]=min(g[v],d+2);
    }
    for (int i=1;i<=n;++i)
        g[i%n+1]=min(g[i%n+1],g[i]+2),f[i]=i;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        g[i%n+1]=min(g[i%n+1],g[i]+2);
    for (int i=1;i<=n;++i)e[++cnt]=(edge){i,i%n+1,g[i]};
    Kr();
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}